Philosophe et élève
de Socrate,
Platon se consacre d’abord à la poésie, au théâtre et la musique.
Son œuvre « Les Dialogues » nous est parvenue intacte. Elle traite
de nombreux thèmes philosophiques tels que le devoir, la vertu, la sagesse, la beauté, l’amour …
Ses origines aristocrates semblent le vouer à une carrière politique. Son père serait descendant
de Codrus, dernier roi d’Athènes.
Platon est à l’origine des sciences politiques. Il élabore des concepts politiques nouveaux pour son temps.
En 399 avant J.C., Socrate est condamné pour des raisons qui restent aujourd’hui mystérieuses.
Platon, bouleversé par sa mort, entame une longue série
de voyages. Durant douze années, il traversera toute la Méditerranée d’Egypte en Sicile en passant par Mégare, Cyrène, Tarente, …
Eveillé aux mathématiques par Théodore
de Cyrène (-470 ; -420) et influencé par la pensée pythagoricienne,
Platon se consacre aux sciences et fonde à son retour à Athènes, dans les jardins d’Akadêmos, une école
de philosophie et
de sciences : «l’Académie» au fronton
de laquelle on peut y lire :
« Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre »
"L'Académie
de Platon"
Pour
Platon, le monde s’appuie sur cinq éléments essentiels : le Feu, l’Air, l’Eau, la Terre et l’Univers. Il associe à chacun d’eux un polyèdre régulier inscriptible dans une sphère. Toutes ses faces sont des polygones réguliers isométriques : tous les côtés sont
de même longueur et tous les angles sont
de même mesure. Il en existe cinq et cinq seulement possédant
de telles propriétés : le tétraèdre, l'octaèdre, l’icosaèdre, le cube et le dodécaèdre.
Selon
Platon, la perfection
de ces polyèdres symbolise par excellence les cinq éléments.
On les appelle aujourd'hui « Les
solides de Platon ».
Le tétraèdre, symbole du Feu
Il est composé
de 4 faces qui sont des triangles équilatéraux.
Il a 4 sommets et 6 arêtes.
L'octaèdre, symbole
de l’Air
Il est composé
de 8 faces qui sont des triangles équilatéraux.
Il a 6 sommets et 12 arêtes.
L'icosaèdre, symbole
de l’Eau
Il est composé
de 20 faces qui sont des triangles équilatéraux.
Il a 12 sommets et 30 arêtes.
Le cube, symbole
de la Terre
Il est composé
de 6 faces qui sont des carrés.
Il a 8 sommets et 12 arêtes.
Le dodécaèdre, symbole
de l’Univers
Il est composé
de 12 faces qui sont des pentagones réguliers.
Il a 20 sommets et 30 arêtes.
Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?) démontrera que ces polyèdres sont exactement au nombre
de cinq. Car la justification
de Platon est plutôt naïve : il n’en existe que cinq car le cosmos ne contient que cinq éléments !
Beaucoup plus tard, à la Renaissance, Johannes Kepler (1571-1630) publie en 1596 "Mysterium Cosmographicum" où il propose un modèle
de l’univers s’appuyant sur les
solides de Platon.
A cette époque, six planètes seulement sont connues. Kepler remarque que les sphères représentant les orbites des planètes peuvent contenir les
solides de Platon.
A Saturne, il associe le cube, à Jupiter le tétraèdre, à Mars le dodécaèdre, à Venus l'icosaèdre et à Mercure l'octaèdre. La terre qu’il présente comme l’image
de Dieu, sert
de séparation entre deux groupes
de solides.
L'Univers selon Kepler extrait
de "Le secret du monde" 1596:
Nous pouvons aussi vérifier que chaque solide
de Platon répond à la formule d'Euler, démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) obtenue avec un nombre F
de faces, A d'arêtes et S
de sommets :
F + S – A = 2
Notons que cette formule a en fait été établie par René Descartes (1596 ; 1650) !
Essayons enfin
de comprendre pourquoi n’existe-t-il pas plus
de cinq polyèdres réguliers convexes ?
Pour cela, il faut s’attacher aux propriétés
de leurs sommets. Pour être régulier, un polyèdre doit posséder le même nombre
de polygones réguliers en chacun
de ses sommets et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360°.
1er cas : les polygones réguliers sont des triangles équilatéraux
S’il y a 3 triangles équilatéraux en chaque sommet, nous obtenons un tétraèdre.
S’il y en a 4, nous obtenons un octaèdre.
S’il y en a 5, nous obtenons un icosaèdre.
S’il y en a 6, c’est impossible car la somme des angles au sommet serait égale à 6 x 60° = 360°.
De la même façon, plus que 6 est impossible.
2e cas : les polygones réguliers sont des carrés
S’il y a 3 carrés en chaque sommet, nous obtenons un cube.
S’il y en a 4, c’est impossible car la somme des angles au sommet serait égale à 4 x 90° = 360°.
De la même façon, plus que 4 est impossible.
3e cas : les polygones réguliers sont des pentagones réguliers
S’il y a 3 pentagones en chaque sommet, nous obtenons un dodécaèdre.
S’il y en a 4, c’est impossible car la somme des angles au sommet serait égale à 4 x 108° = 432°.
De la même façon, plus que 4 est impossible.
4e cas : les polygones réguliers sont des hexagone réguliers
S’il y a 3 hexagones en chaque sommet, c’est impossible car la somme des angles au sommet serait égale à 3 x 120° = 360°.
De la même façon, plus que 3 est impossible.
De la même façon, aller au delà
de l’hexagone régulier est impossible.
Il existe donc exactement cinq polyèdres réguliers dits
de Platon. -cqfd-
L'Ecole d'Athènes (1509-1510) vue par le peintre italien Raphaël.
Au centre,
Platon (à gauche) et Aristote (à droite).
Devant, sur la gauche, à genoux en train d'écrire, on retrouve Pythagore et à droite penché en avant, Euclide.
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